בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב׳ – סדרה הנדסית אין־סופית יורדתסדרות 571 · שיעור 59
קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 2
שיעור 59: בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב׳ – סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
פרק 10 – 10 שאלות בגרות 571 – סדרות
1נוסח השאלה
2סעיף א – איזו טענה נכונה
3סעיף ב – הוכחה ש־bn הנדסית עם מנה q
4סעיף ג – מציאת q
5סעיף ד (1) – הוכחה ש־cn קבועה
6סעיף ד (2) – מציאת k
7סעיף ה – הסכום אחרי החלפת הסימנים
📄 נוסח השאלה
an היא סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שכל איבריה חיוביים ומנתה היא q.
א. לפניכם שלוש טענות I–III. קבעו איזו מן הטענות נכונה ונמקו את קביעתכם.
I. −1 < q < 0 II. 0 < q < 1 III. 1 < q
bn היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים bn = an + an+1 + an+2 לכל n טבעי.
ב. הוכיחו כי הסדרה bn היא הנדסית ומנתה היא q.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון כי סכום הסדרה bn גדול פי 1.96 מסכום הסדרה an.
ג. מצאו את הערך של q.
cn היא סדרה שאיבריה מקיימים cn = bn4 · an לכל n טבעי. נתון כי סכום k האיברים הראשונים בסדרה הוא 34.79.
ד. (1) הוכיחו כי הסדרה cn היא קבועה. (2) מצאו את הערך של k.
החליפו את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה cn.
📄 נוסח השאלה · המשך
ה. מצאו את סכום k האיברים הראשונים בסדרה cn לאחר החלפת הסימנים. נמקו את תשובתכם.
סעיף א – איזו טענה נכונה
כל האיברים חיוביים. כדי שהסימן לא יתחלף, המנה חייבת להיות חיובית: אם q < 0, האיברים מתחלפים בין חיובי לשלילי. לכן טענה I נפסלת.
הסדרה יורדת, כלומר כל איבר קטן מקודמו:
📐 הגדרת סדרה הנדסית
an+1 < an
נחלק ב־an > 0 (חיובי, ולכן כיוון אי־השוויון נשמר):
an+1an < 1
q < 1
📐 הגדרת סדרה הנדסית
an+1an = q
סעיף א – איזו טענה נכונה · המשך
q < 1
יחד עם q > 0: 0 < q < 1. לכן גם טענה III נפסלת (q > 1 נותן סדרה עולה).
✅ פתרון סופי: טענה II: 0 < q < 1 נכונה
סעיף ב – הוכחה ש־bn הנדסית עם מנה q
סדרה היא הנדסית אם המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה. נחשב את bn+1bn:
📐 הגדרת סדרה הנדסית
לפי הגדרת bn (מציבים n + 1 במקום n):
bn+1 = an+1 + an+2 + an+3
בסדרה ההנדסית an כל איבר שווה לקודמו כפול q:
📐 איבר עוקב בסדרה הנדסית
an+1 = anq , an+2 = an+1q
an+3 = an+2q
📐 הגדרת סדרה הנדסית
המנה bn+1bn קבועה
📐 איבר עוקב בסדרה הנדסית
an+1 = an · q
סעיף ב – הוכחה ש־bn הנדסית עם מנה q · המשך
an+3 = an+2q
bn+1 = anq + an+1q + an+2q
bn+1 = q(an + an+1 + an+2)
bn+1 = q · bn
ולכן (bn > 0 כי סכום של איברים חיוביים):
bn+1bn = q
סעיף ב – הוכחה ש־bn הנדסית עם מנה q · המשך
bn+1bn = q
המנה קבועה ושווה ל־q לכל n.
✅ פתרון סופי: הסדרה bn הנדסית ומנתה q ∎
סעיף ג – מציאת q
האיבר הראשון של bn (מציבים n = 1):
b1 = a1 + a2 + a3
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
= a1 + a1q + a1q2
b1 = a1(1 + q + q2)
לשתי הסדרות אותה מנה q, ו־0 < q < 1, ולכן לשתיהן יש סכום אין־סופי:
Sa = a11 − q
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q
(כאשר −1 < q < 1, q ≠ 0)
(כאשר −1 < q < 1, q ≠ 0)
סעיף ג – מציאת q · המשך
Sa = a11 − q
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
Sb = a1(1 + q + q2)1 − q
נתון: Sb = 1.96 · Sa
a1(1 + q + q2)1 − q
= 1.96 · a11 − q
נכפול ב־(1 − q) ונחלק ב־a1 (שניהם חיוביים):
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q
(כאשר −1 < q < 1, q ≠ 0)
(כאשר −1 < q < 1, q ≠ 0)
סעיף ג – מציאת q · המשך
נכפול ב־(1 − q) ונחלק ב־a1 (שניהם חיוביים):
1 + q + q2 = 1.96
q2 + q − 0.96 = 0
q = −1 ± √1 + 3.842
📐 נוסחת השורשים
= −1 ± √4.842 = −1 ± 2.22
q = 1.22 = 0.6
📐 נוסחת השורשים
x = −b ± √b2 − 4ac2a
סעיף ג – מציאת q · המשך
q = 1.22 = 0.6
או
q = −3.22 = −1.6
לפי סעיף א 0 < q < 1, ולכן q = −1.6 נפסל.
✅ פתרון סופי: q = 0.6
סעיף ד (1) – הוכחה ש־cn קבועה
לפי ההגדרה של bn:
cn = bn4an = an + an+1 + an+24an
cn = an + anq + anq24an
📐 איבר עוקב בסדרה הנדסית
cn = an(1 + q + q2)4an
= 1 + q + q24
מסעיף ג: 1 + q + q2 = 1.96:
📐 איבר עוקב בסדרה הנדסית
an+1 = an · q
סעיף ד (1) – הוכחה ש־cn קבועה · המשך
מסעיף ג: 1 + q + q2 = 1.96:
cn = 1.964 = 0.49
הערך לא תלוי ב־n, ולכן כל איברי הסדרה שווים ל־0.49.
✅ פתרון סופי: הסדרה קבועה: cn = 0.49 לכל n ∎
סעיף ד (2) – מציאת k
כל האיברים שווים ל־0.49, ולכן סכום k האיברים הראשונים הוא k פעמים 0.49:
Sk = 0.49 · k
0.49k = 34.79
k = 34.790.49 = 71
✅ פתרון סופי: k = 71
סעיף ה – הסכום אחרי החלפת הסימנים
אחרי החלפת הסימן במקומות הזוגיים הסדרה היא:
0.49 , −0.49 , 0.49 , ...
מחפשים את סכום k = 71 האיברים הראשונים.
נחבר בזוגות: כל זוג (מקום אי־זוגי + המקום הזוגי שאחריו) נותן 0.49 + (−0.49) = 0.
ב־71 איברים יש 35 זוגות שלמים (האיברים 1 עד 70) ועוד איבר אחד – האיבר ה־71, שנמצא במקום אי־זוגי ולכן נשאר חיובי:
S = 35 · 0 + 0.49
סעיף ה – הסכום אחרי החלפת הסימנים · המשך
S = 35 · 0 + 0.49
S = 0.49
✅ פתרון סופי: 0.49 – 35 זוגות שסכום כל אחד 0, ועוד האיבר ה־71 (חיובי)
📌 סיכום התשובות
סעיף א
טענה II
סעיף ב
הוכחה
סעיף ג
q = 0.6
סעיף ד (1)
cn = 0.49
סעיף ד (2)
k = 71
סעיף ה
0.49
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא